Вопрос школьника
Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r— радиус вписанной окружности
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса r. Проведем из центра окружности лучи, соединяющие его с вершинами n-угольника. Таким образом, мы разделим n-угольник на n равных треугольников.
Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри n-угольника. Проведем из нее перпендикуляры к сторонам n-угольника. Таким образом, мы получим n треугольников, каждый из которых имеет высоту, равную расстоянию от точки М до соответствующей стороны n-угольника.
Заметим, что каждый из этих треугольников подобен соответствующему треугольнику, образованному лучом, проведенным из центра окружности к вершине n-угольника, и двумя его сторонами. Таким образом, отношение высоты треугольника, образованного лучом и двумя его сторонами, к радиусу окружности равно отношению высоты треугольника, образованного точкой М и двумя сторонами n-угольника, к расстоянию от точки М до центра окружности.
Из подобия треугольников следует, что отношение высоты треугольника, образованного лучом и двумя его сторонами, к радиусу окружности равно отношению стороны n-угольника к радиусу окружности. Таким образом, высота треугольника, образованного лучом и двумя его сторонами, равна стороне n-угольника, умноженной на расстояние от точки М до центра окружности.
Суммируя высоты всех треугольников, получаем, что сумма перпендикуляров, проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна сумме сторон n-угольника, умноженной на расстояние от точки М до центра окружности. Но сумма сторон n-угольника равна периметру n-угольника, который равен 2nr, где r — радиус вписанной окружности. Таким образом, сумма перпендикуляров равна nr.
