Вопрос школьника
Пусть плоскости а и β пересекаются по прямой р ив плоскости а лежит прямая а, отличная от р. Докажите, что:
а) если а пересекает р, то а пересекает β;
б) обратно: если а пересекает β, то а пересекает р.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим схему пересечения плоскостей а и β:
«`
/
/
/
/
/
/__________
р
«`
Как видно из схемы, плоскости а и β пересекаются по прямой р. Также известно, что в плоскости а есть прямая, отличная от р.
а) Если прямая а пересекает р, то она пересекает и плоскость β. Для доказательства этого рассмотрим два случая:
— Если прямая а лежит в плоскости β, то она пересекает ее очевидным образом.
— Если прямая а не лежит в плоскости β, то она пересекает ее в точке, которая лежит на прямой р. Это следует из того, что прямая а и прямая р лежат в плоскости а, которая пересекает плоскость β по прямой р. Таким образом, прямая а пересекает плоскость β.
б) Если прямая а пересекает плоскость β, то она пересекает и прямую р. Для доказательства этого рассмотрим два случая:
— Если прямая а лежит в плоскости β, то она пересекает прямую р очевидным образом.
— Если прямая а не лежит в плоскости β, то она пересекает ее в точке, которая лежит на прямой р. Это следует из того, что прямая а и прямая р лежат в плоскости а, которая пересекает плоскость β по прямой р. Таким образом, прямая а пересекает прямую р.
