Вопрос школьника
Пусть СС1, СС2, СС3 — соответственно высота, биссектриса и медиана, выходящие из вершины С треугольника АBС. Луч СС2 пересекает описанную около треугольника АBС окружность в точке D. Докажите, что DС3 параллельна CC1
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка D лежит на описанной около треугольника АBС окружности, а значит, угол ADC равен половине угла АBC (так как это угол, опирающийся на дугу AC, которая является средней линией треугольника АBС). Также заметим, что угол АDC равен углу АСС2 (так как они опираются на одну и ту же дугу DC).
Теперь рассмотрим треугольник СС1С3. Он является прямоугольным, так как СС1 и СС3 являются высотой и медианой соответственно, а значит, они перпендикулярны. Также заметим, что угол СС1С3 равен углу АСС2 (так как они опираются на одну и ту же сторону СС).
Из этих двух фактов следует, что треугольники АDC и СС1С3 подобны (по двум углам). А значит, отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих высот:
AD/CC1 = DC3/CC3
Но мы знаем, что угол ADC равен половине угла АBC, а значит, угол АDC больше угла АСС1 (так как угол АСС1 равен половине угла АBC, а угол АDC больше половины угла АBC). Таким образом, мы получаем, что AD больше CC1, а значит, DC3 больше CC3 (так как они пропорциональны).
Из этого следует, что DС3 параллельна CC1 (так как это две стороны прямоугольных треугольников, пропорциональные между собой).
