Вопрос школьника
Пусть в треугольнике ABC известно: АС = b, ВС = a, ∠ACB = γ.
а) Докажите, что его биссектриса CL = 2ab cos y/2/(a+b)
б) Какие следствия можно получить из этой формулы?
Ответ от учителя
а) Для доказательства формулы для биссектрисы треугольника ABC проведем биссектрису угла ACB и обозначим точку пересечения с отрезком AB буквой L. Тогда по определению биссектрисы угла ALB/2 = CL/BC, где BC = a + b — длина стороны AB. Также из треугольника ACB по теореме косинусов имеем: cos γ = (a^2 + b^2 — c^2)/(2ab), где c — длина стороны AB. Разрешая уравнение относительно c^2, получаем c^2 = a^2 + b^2 — 2ab cos γ. Подставляя это выражение для c^2 в формулу для ALB/2, получаем: ALB/2 = CL/(a + b — c) = 2ab cos γ/2/(a + b — (a^2 + b^2 — 2ab cos γ)^0.5). Упрощая знаменатель, получаем искомую формулу: CL = 2ab cos γ/2/(a + b).
б) Из полученной формулы можно вывести несколько следствий:
1. Если угол ACB равен 90 градусов, то cos γ/2 = 0 и биссектриса CL проходит через середину стороны AB, т.е. CL = AB/2 = (a + b)/2.
2. Если угол ACB равен 180 градусов, то cos γ/2 = -1 и биссектриса CL проходит через вершину C, т.е. CL = 0.
3. Если угол ACB меньше 90 градусов, то cos γ/2 > 0 и биссектриса CL лежит внутри треугольника ABC.
4. Если угол ACB больше 90 градусов, то cos γ/2 < 0 и биссектриса CL лежит за пределами треугольника ABC.
5. Формула для биссектрисы может быть использована для нахождения длины биссектрисы по известным длинам сторон треугольника и углу между ними.
