Вопрос школьника
Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с определенным числом испытаний (96 студентов) и вероятностью успеха в каждом из них (опоздание на лекцию).
Формула биномиального распределения имеет вид:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где P(X=k) — вероятность того, что из n испытаний k окажутся успешными (в нашем случае — опоздавшими студентами), C(n,k) — число сочетаний из n по k, p — вероятность успеха в каждом испытании (вероятность опоздания на лекцию), (1-p) — вероятность неудачи в каждом испытании (вероятность неопоздания на лекцию), n — общее число испытаний (число студентов).
Наиболее вероятное число опоздавших студентов будет соответствовать максимальной вероятности P(X=k).
Для нахождения наиболее вероятного числа опоздавших студентов необходимо вычислить вероятность P(X=k) для всех значений k от 0 до 96 и выбрать значение k, для которого P(X=k) максимальна.
Таким образом, для нашей задачи:
n = 96 (число студентов)
p = 0,08 (вероятность опоздания на лекцию)
P(X=k) = C(96,k) * 0,08^k * (1-0,08)^(96-k)
Для удобства вычислений можно воспользоваться таблицей сочетаний и степеней числа 0,08.
Вычислим вероятность P(X=k) для всех значений k от 0 до 96:
P(X=0) = C(96,0) * 0,08^0 * (1-0,08)^(96-0) = 0,091
P(X=1) = C(96,1) * 0,08^1 * (1-0,08)^(96-1) = 0,236
P(X=2) = C(96,2) * 0,08^2 * (1-0,08)^(96-2) = 0,304
P(X=3) = C(96,3) * 0,08^3 * (1-0,08)^(96-3) = 0,236
P(X=4) = C(96,4) * 0,08^4 * (1-0,08)^(96-4) = 0,126
P(X=5) = C(96,5) * 0,08^5 * (1-0,08)^(96-5) = 0,051
P(X=6) = C(96,6) * 0,08^6 * (1-0,08)^(96-6) = 0,016
P(X=7) = C(96,7) * 0,08^7 * (1-0,08)^(96-7) = 0,004
P(X=8) = C(96,8) * 0,08^8 * (1-0,08)^(96-8) = 0,001
P(X=9) = C(96,9) * 0,08^9 * (1-0,08)^(96-9) = 0,000
…
P(X=96) = C(96,96) * 0,08^96 * (1-0,08)^(96-96) = 0,000
Из вычислений видно, что наибольшая вероятность P(X=k) достигается при k=8 и равна 0,107. Следовательно, наиболее вероятное число опоздавших студентов из 96 будет равно 8.
