Вопрос школьника
Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы р = XY + ZX + YZ, q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY)-ZX нулевые.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что векторы p, q и r нулевые, нужно показать, что их координаты равны нулю.
Вектор p = XY + ZX + YZ имеет координаты (x2-x1, y2-y1) + (x3-x1, y3-y1) + (x3-x2, y3-y2), где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) — координаты точек X, Y и Z соответственно. Раскрывая скобки, получаем:
p = (x2-x1 + x3-x1 + x3-x2, y2-y1 + y3-y1 + y3-y2) = (0, 0)
Таким образом, вектор p нулевой.
Вектор q = (XY-XZ) + YZ имеет координаты (x2-x1, y2-y1) — (x3-x1, y3-y1) + (x3-x2, y3-y2). Раскрывая скобки, получаем:
q = (x2-x1 — x3+x1 + x3-x2, y2-y1 — y3+y1 + y3-y2) = (0, 0)
Таким образом, вектор q нулевой.
Вектор r = (ZY-XY)-ZX имеет координаты (x3-x2, y3-y2) — (x2-x1, y2-y1) — (x3-x1, y3-y1). Раскрывая скобки, получаем:
r = (x3-x2 — x2+x1 — x3+x1, y3-y2 — y2+y1 — y3+y1) = (0, 0)
Таким образом, вектор r также нулевой.
Таким образом, мы доказали, что векторы p, q и r нулевые.
