Вопрос школьника
Радиус кругового сектора равен R, а его дуга равна 60º. Окружность касается радиусов ОМ и ОN, ограничивающих сектор, в точках А и В, а его дуги в точке С. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками ОА и ОВ и дугой АСВ.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти радиусы ОМ и ОN, а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной отрезками ОА и ОВ и дугой АСВ.
Радиус кругового сектора равен R, а его дуга равна 60º. Это означает, что длина дуги равна 1/6 от длины окружности, то есть:
L = (1/6) * 2πR = πR/3
Также из геометрических соображений можно заметить, что треугольник ОАС является равнобедренным, так как угол АОС равен 60º, а углы ОАС и ОСА равны между собой. Значит, ОА = ОС = R.
Теперь рассмотрим треугольник ОМА. Он также является равнобедренным, так как угол ОМА равен углу ОАМ (они оба равны 30º), а углы ОАМ и ОМА равны между собой. Значит, ОМ = ОА/2 = R/2.
Аналогично, треугольник ОНВ является равнобедренным, и мы можем найти ОН = R/2.
Теперь мы можем вычислить длину дуги АСВ. Она равна разности длин дуг ОА и ОВ:
L(АСВ) = L(ОА) — L(ОВ) = πR/3 — 2(πR/6) = πR/6
Наконец, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной отрезками ОА и ОВ и дугой АСВ. Эта фигура состоит из двух сегментов круга и прямоугольника между ними.
Площадь первого сегмента равна:
S1 = (1/2)R^2 * (π/3 — sin(π/3)) = R^2/6 * (π — √3)
Площадь второго сегмента равна:
S2 = (1/2)R^2 * (π/6 — sin(π/6)) = R^2/12 * (π — √3)
Площадь прямоугольника равна:
S3 = ОА * ОВ = R^2
Итак, общая площадь фигуры равна:
S = S1 + S2 + S3 = R^2/6 * (2π — √3)
Ответ: площадь фигуры, ограниченной отрезками ОА и ОВ и дугой АСВ, равна R^2/6 * (2π — √3).
