Вопрос школьника
Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника, равен 2 см. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о связи радиусов описанной и вписанной окружностей с правильным многоугольником.
Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника равен расстоянию от центра окружности до любой вершины. Так как восьмиугольник правильный, то все его стороны и углы равны между собой. Разобьем восьмиугольник на 8 равных треугольников, проведя диагонали от каждой вершины до противоположной. Таким образом, получим 8 равных треугольников, каждый из которых имеет угол в вершине в 45 градусов и основание, равное радиусу описанной окружности. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что сторона треугольника равна радиусу описанной окружности, умноженному на √2. Таким образом, радиус описанной окружности равен:
R = a√2,
где a — длина стороны восьмиугольника.
Известно, что R = 2 см. Тогда:
a = R/√2 = 2/√2 = 2√2 см.
Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника равен расстоянию от центра окружности до середины любой стороны. Разобьем восьмиугольник на 16 равных прямоугольных треугольников, проведя биссектрисы углов. Таким образом, получим 16 равных прямоугольных треугольников, каждый из которых имеет углы в 45 градусов и основания, равные стороне восьмиугольника, деленной на 2. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что радиус вписанной окружности равен половине стороны восьмиугольника. Таким образом, радиус вписанной окружности равен:
r = a/2 = (2√2)/2 = √2 см.
Ответ: радиус вписанной окружности равен √2 см.
