Вопрос школьника
Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R и равен основанию треугольника. Найдите углы треугольника.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а высота, опущенная на основание, равна h. Тогда, по определению радиуса описанной окружности, мы знаем, что радиус R равен половине длины гипотенузы треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то его высота h является также медианой и биссектрисой, а значит, разделяет его на два прямоугольных треугольника.
В одном из этих треугольников гипотенуза равна R, а катеты равны a/2 и h. Из теоремы Пифагора для этого треугольника мы можем записать:
(R^2) = (a/2)^2 + h^2
Также, по определению равнобедренного треугольника, углы при основании равны между собой, обозначим их через α. Тогда угол при вершине треугольника равен 180° — 2α.
Для нахождения углов α мы можем воспользоваться теоремой косинусов для любого из двух прямоугольных треугольников, на которые разбивается наш равнобедренный треугольник. Например, для треугольника с катетами a/2 и h и гипотенузой R мы можем записать:
(R^2) = (a/2)^2 + h^2 — 2(a/2)h cos(α)
Подставляя сюда выражение для h из формулы площади равнобедренного треугольника (h = sqrt(R^2 — (a/2)^2)), получаем:
(R^2) = (a/2)^2 + R^2 — (a/2)^2 — 2(a/2)sqrt(R^2 — (a/2)^2) cos(α)
Упрощая это выражение, получаем:
cos(α) = (R^2 — (a/2)^2) / (2R sqrt(R^2 — (a/2)^2))
Теперь мы можем найти углы α и 180° — 2α, используя обратные функции тригонометрии.
Например, для угла α мы можем записать:
α = arccos((R^2 — (a/2)^2) / (2R sqrt(R^2 — (a/2)^2)))
А для угла 180° — 2α:
180° — 2α = 2arcsin(a/2R)
Таким образом, зная радиус описанной окружности и длину основания равнобедренного треугольника, мы можем найти углы этого треугольника, используя теорему косинусов и обратные функции тригонометрии.
