Вопрос школьника
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3 см. Найдите сторону АВ этого треугольника, если противолежащий ей угол С равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 150°.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится формула для радиуса описанной окружности треугольника:
$$R = frac{abc}{4S},$$
где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь, $R$ — радиус описанной окружности.
Также нам понадобится формула для площади треугольника:
$$S = frac{1}{2}absin C,$$
где $a$, $b$ — стороны треугольника, $C$ — противолежащий угол.
Теперь рассмотрим каждый пункт задачи:
а) Угол $C = 30^circ$. Известно, что $R = 3$ см. Подставляем в формулу для радиуса и получаем:
$$3 = frac{abcdot BC}{4cdot frac{1}{2}absin C} = frac{BC}{2sin 30^circ} = frac{BC}{1}.$$
Отсюда следует, что $BC = 3$ см. Теперь можем найти сторону $AB$ с помощью теоремы косинусов:
$$AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2cdot BCcdot ACcdot cos B.$$
Так как треугольник равнобедренный (так как $BC = AC$), то $cos B = frac{1}{2}$. Подставляем известные значения и получаем:
$$AB^2 = 3^2 + AC^2 — 2cdot 3cdot ACcdot frac{1}{2} = AC^2 — 3AC + 9.$$
Теперь нам нужно найти $AC$. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:
$$S = frac{1}{2}absin C = frac{1}{2}cdot ACcdot ABcdot sin 30^circ = frac{1}{4}cdot ACcdot AB.$$
Подставляем известные значения и получаем:
$$S = frac{1}{4}cdot ACcdot sqrt{AC^2 — 3AC + 9}.$$
Так как $S = frac{1}{2}cdot AC^2cdot sin 30^circ = frac{1}{4}cdot AC^2$, то можем записать:
$$frac{1}{4}cdot AC^2 = frac{1}{4}cdot ACcdot sqrt{AC^2 — 3AC + 9}.$$
Решаем это уравнение и получаем два корня: $AC = 3$ см и $AC = 1$ см. Так как треугольник не может быть маленьким, то выбираем $AC = 3$ см. Подставляем его в формулу для $AB$ и получаем:
$$AB^2 = 3^2 + 3^2 — 2cdot 3cdot 3cdot frac{1}{2} = 9.$$
Отсюда следует, что $AB = 3$ см.
б) Угол $C = 45^circ$. Повторяем все те же шаги, что и в пункте а), только меняем значение угла $C$ на $45^circ$. Получаем:
$$3 = frac{BC}{2sin 45^circ} = frac{BC}{sqrt{2}},$$
откуда $BC = 3sqrt{2}$ см. Далее:
$$AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2cdot BCcdot ACcdot cos B = 18 — 6sqrt{2}cdot cos B.$$
Так как треугольник равнобедренный, то $cos B = frac{1}{sqrt{2}}$. Подставляем и получаем:
$$AB^2 = 18 — 6sqrt{2}cdot frac{1}{sqrt{2}} = 12.$$
Отсюда следует, что $AB = 2sqrt{3}$ см.
в) Угол $C = 60^circ$. Повторяем все те же шаги, что и в пункте а), только меняем значение угла $C$ на $60^circ$. Получаем:
$$3 = frac{BC}{2sin 60^circ} = frac{BC}{sqrt{3}},$$
откуда $BC = 3sqrt{3}$ см. Далее:
$$AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2cdot BCcdot ACcdot cos B = 27 — 9sqrt{3}cdot cos B.$$
Так как треугольник равнобедренный, то $cos B = frac{1}{2}$. Подставляем и получаем:
$$AB^2 = 27 — 9sqrt{3}cdot frac{1}{2} = 18 — 3sqrt{3}.$$
Отсюда следует, что $AB = sqrt{18 — 3sqrt{3}}$ см.
г) Угол $C = 90^circ$. В этом случае треугольник является прямоугольным, поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
$$AB^2 = BC^2 + AC^2 = 9 + AC^2.$$
Так как $R = 3$ см, то по формуле для радиуса описанной окружности:
$$3 = frac{abc}{4S} = frac{ABcdot BCcdot AC}{2cdot ABcdot BC} = frac{AC}{2},$$
откуда $AC = 6$ см. Подставляем это значение в формулу для $AB$ и получаем:
$$AB^2 = 9 + 6^2 = 45.$$
Отсюда следует, что $AB = 3sqrt{5}$ см.
д) Угол $C = 150^circ$. В этом случае треугольник не может существовать, так как сумма углов треугольника равна $180^circ$, а угол $C$ больше $90^circ$. Ответ: не существует.
