Вопрос школьника
Радиус окружности, по которой движется Фобос (спутник планеты Марс), равен 9400 км, а его период обращения равен 46 мин. Определите массу Марса.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона.
Закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу большой полуоси орбиты, на которой он движется:
T^2 = k*a^3
где T — период обращения спутника, a — большая полуось орбиты, k — постоянная, зависящая только от массы центрального тела.
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = G*m1*m2/r^2
где F — сила притяжения, G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы тел, r — расстояние между ними.
Для решения задачи необходимо найти массу Марса, используя известные данные о радиусе орбиты и периоде обращения спутника Фобоса.
Сначала найдем большую полуось орбиты спутника Фобоса:
T^2 = k*a^3
46^2 = k*(9400*10^3)^3
k = 1.03*10^-19
a = (T^2/k)^(1/3) = (46^2/1.03*10^-19)^(1/3) = 9378.5 км
Затем найдем скорость спутника на орбите:
v = 2*pi*a/T = 2*pi*9378.5*10^3/46*60 = 2.14 км/с
Наконец, найдем массу Марса, используя закон всемирного тяготения Ньютона:
F = G*m1*m2/r^2
m1 = m2 = M (масса Марса)
F = M*v^2/r
G*M^2/r^2 = M*v^2/r
M = v^2*r/G = (2.14*10^3)^2*9400*10^3/(6.67*10^-11) = 6.39*10^23 кг
Ответ: масса Марса равна 6.39*10^23 кг.
