Вопрос школьника
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен R, а градусная мера угла при его основании равна ср. Найдите площадь треугольника.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а высота, опущенная на это основание, равна h. Тогда, по определению, радиус описанной окружности равен R = a/2h.
Также известно, что градусная мера угла при основании равна среднему значению двух других углов, то есть 180° — 2ср.
Из свойств треугольника известно, что синус угла при основании равен h/R, а площадь треугольника равна S = ah/2.
Теперь можно выразить высоту через радиус описанной окружности и градусную меру угла при основании:
sin(ср) = h/R
h = R*sin(ср)
Также можно выразить основание через радиус описанной окружности и градусную меру угла при основании:
a = 2R*sin(ср/2)
Теперь можно выразить площадь треугольника через радиус описанной окружности и градусную меру угла при основании:
S = ah/2 = R*sin(ср)*2R*sin(ср/2)/2 = R^2*sin(ср)*sin(ср/2)
Таким образом, площадь треугольника зависит только от радиуса описанной окружности и градусной меры угла при основании.
