Вопрос школьника
Радиус основания цилиндра растёт, а образующая постоянна. Докажите, что:
а) скорость роста площади боковой поверхности постоянна;
б) скорость роста объёма пропорциональна площади боковой поверхности;
в) скорость роста площади поверхности линейно зависит от радиуса.
Ответ от учителя
Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра, $l$ — образующая цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна $S=2pi rh$, а объем цилиндра равен $V=pi r^2h$.
а) Скорость роста площади боковой поверхности цилиндра равна $frac{dS}{dt}=2pi hfrac{dr}{dt}$. Так как образующая цилиндра постоянна, то $l=sqrt{r^2+h^2}$, откуда $frac{dl}{dt}=frac{r}{sqrt{r^2+h^2}}frac{dr}{dt}$. Так как $frac{dl}{dt}=0$, то $frac{dr}{dt}=0$, следовательно, скорость роста площади боковой поверхности цилиндра равна нулю, т.е. она постоянна.
б) Скорость роста объема цилиндра равна $frac{dV}{dt}=pi h(2rfrac{dr}{dt}+r^2frac{dh}{dt})$. Из условия следует, что $frac{dl}{dt}=0$, т.е. $rfrac{dr}{dt}+hfrac{dh}{dt}=0$. Отсюда $frac{dh}{dt}=-frac{r}{h}frac{dr}{dt}$. Подставляя это выражение в формулу для скорости роста объема, получаем: $frac{dV}{dt}=pi h(2rfrac{dr}{dt}-frac{r^3}{h}frac{dr}{dt})=pi rfrac{dr}{dt}(2h-frac{r^2}{h})$. Так как $h$ и $l$ постоянны, то $frac{dV}{dt}propto r$, т.е. скорость роста объема пропорциональна площади боковой поверхности.
в) Скорость роста площади поверхности цилиндра равна $frac{dS}{dt}=2pi rfrac{dr}{dt}+2pi hfrac{dh}{dt}$. Из предыдущего пункта следует, что $frac{dh}{dt}=-frac{r}{h}frac{dr}{dt}$, поэтому $frac{dS}{dt}=2pi rfrac{dr}{dt}-2pi rfrac{dr}{dt}=0$. Таким образом, скорость роста площади поверхности цилиндра равна нулю, т.е. она не зависит от радиуса.
