Вопрос школьника
Радиус основания конуса равен 2, а высота равна 1. В конусе провели сечение плоскостью через вершину под углом 45° к высоте конуса. Найдите отношение объёмов частей конуса.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти объемы двух частей конуса, разделенных плоскостью, проходящей через вершину и образующую угол 45 градусов с высотой конуса.
Обозначим через $V_1$ объем верхней части конуса, ограниченной плоскостью и вершиной, а через $V_2$ объем нижней части конуса, ограниченной плоскостью и основанием.
Для нахождения объема верхней части конуса нам нужно найти высоту этой части. Обозначим ее через $h_1$. Рассмотрим правильный треугольник, образованный плоскостью сечения, высотой конуса и линией пересечения плоскости с основанием конуса. Этот треугольник является равнобедренным, так как угол между высотой и линией пересечения плоскости с основанием равен 45 градусам. Значит, высота этого треугольника равна $h_1 = sqrt{2}$. Тогда объем верхней части конуса равен:
$$V_1 = frac{1}{3}pi r^2 h_1 = frac{1}{3}pi cdot 2^2 cdot sqrt{2} = frac{4}{3}sqrt{2}pi$$
Для нахождения объема нижней части конуса нам нужно найти высоту этой части. Обозначим ее через $h_2$. Рассмотрим правильный треугольник, образованный плоскостью сечения, основанием конуса и линией пересечения плоскости с высотой конуса. Этот треугольник также является равнобедренным, так как угол между основанием и линией пересечения плоскости с высотой равен 45 градусам. Значит, высота этого треугольника равна $h_2 = frac{1}{sqrt{2}}$. Тогда объем нижней части конуса равен:
$$V_2 = frac{1}{3}pi r^2 h_2 = frac{1}{3}pi cdot 2^2 cdot frac{1}{sqrt{2}} = frac{4}{3}sqrt{2}pi$$
Отношение объемов частей конуса равно:
$$frac{V_1}{V_2} = frac{frac{4}{3}sqrt{2}pi}{frac{4}{3}sqrt{2}pi} = 1$$
Таким образом, объем верхней части конуса равен объему нижней части конуса.
