Вопрос школьника
Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30°.
Найти: а) S сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.
б) S боковой поверхности конуса.
Ответ от учителя
а) Для нахождения площади сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°, нужно найти высоту сечения и радиус этого сечения.
Высота сечения равна половине образующей, так как она проходит через середину образующей. Образующая равна √(r² + h²), где r — радиус основания, h — высота конуса. Так как угол между образующими равен 60°, то у нас есть равносторонний треугольник, в котором сторона равна образующей, а угол между сторонами равен 60°. Значит, высота сечения равна половине стороны треугольника, то есть h/2.
Теперь можем найти радиус сечения. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, половиной высоты сечения и образующей:
r² = (h/2)² + (√(r² + h²)/2)²
Решив это уравнение относительно r, получим:
r = √(h²/4 + (r² + h²)/4)
r = √(r²/4 + h²/2)
Теперь можем найти площадь сечения:
S = πr² = π(r²/4 + h²/2)
S = πr²/4 + πh²/2
S = π(6²/4 + (6/2)²/2)
S = π(9 + 9)
S = 18π
Ответ: S сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°, равна 18π см².
б) Для нахождения площади боковой поверхности конуса нужно найти длину образующей. Образующая равна √(r² + h²), где r — радиус основания, h — высота конуса.
Высота конуса равна r*tg(30°), так как образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30°.
h = r*tg(30°) = 6*tg(30°) ≈ 3.46 см
Теперь можем найти образующую:
l = √(r² + h²) = √(6² + 3.46²) ≈ 6.83 см
Площадь боковой поверхности равна половине произведения образующей на окружность основания:
Sбок = 1/2 * l * 2πr = πrl
Sбок = π*6.83*6
Sбок ≈ 128.72 см²
Ответ: S боковой поверхности конуса равна примерно 128.72 см².
