Вопрос школьника
Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, равен 2 см. Вычислите объем пирамиды, если угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 30°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для объема правильной четырехугольной пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания, h — высота пирамиды.
Для начала найдем длину бокового ребра пирамиды. Обозначим ее через a. Так как пирамида правильная, то все ее боковые грани равнобедренные треугольники. Пусть A, B, C, D — вершины основания пирамиды, а E — середина ребра AB. Тогда треугольник ABE является прямоугольным, и мы можем найти его гипотенузу:
AB = 2 * a, AE = a, BE = sqrt(AB^2 — AE^2) = sqrt(3) * a.
Так как угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 30°, то высота пирамиды h равна h = BE * sin(30°) = (sqrt(3) / 2) * a.
Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды. Разобьем ее на два равных прямоугольных треугольника ABE и CDE:
S = 2 * (1/2) * AB * CD = 2 * (1/2) * 2a * a = 2a^2.
Осталось подставить найденные значения в формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 2a^2 * (sqrt(3) / 2) * a = (sqrt(3) / 3) * a^3.
Нам дано, что радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 2 см. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно 2 см. Обозначим это расстояние через R. Тогда мы можем записать:
R = a * sqrt(2) / 2,
откуда a = 2R * sqrt(2).
Подставляя это значение в формулу для объема пирамиды, получаем:
V = (sqrt(3) / 3) * (2R * sqrt(2))^3 = (16/3) * sqrt(2) * R^3.
Таким образом, объем пирамиды равен (16/3) * sqrt(2) * R^3, где R = 2 см — радиус сферы, описанной около пирамиды. Подставляя числовые значения, получаем:
V = (16/3) * sqrt(2) * 2^3 = 85.33 см^3 (округляем до сотых).
