Вопрос школьника
Радиус сферы равен 3 см. Точка А, лежащая на плоскости касательной к сфере, удалена от точки касания на 3√3 см. Вычислите расстояние от точки касания до точки пересечения сферы с прямой, проходящей через центр сферы и точку А.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство касательной к сфере: она перпендикулярна к радиусу, проведенному в точке касания. Также нам понадобится теорема Пифагора.
Обозначим точку касания сферы и плоскости как B, центр сферы как O, а точку пересечения прямой сферы и плоскости как С. Также обозначим расстояние от точки B до точки С как x.
Так как точка А лежит на плоскости касательной, то отрезок AB является высотой правильного треугольника AOB, где OA = OB = 3 см. Таким образом, мы можем вычислить длину стороны треугольника:
AB = 3√3 см
Теперь мы можем вычислить расстояние от точки A до центра сферы O:
AO = √(AB^2 + OB^2) = √(27 + 9) = 3√6 см
Так как прямая AO проходит через центр сферы, то она является диаметром сферы. Таким образом, расстояние от точки B до точки С равно половине длины дуги BC:
x = BC/2
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины дуги BC. Обозначим точку пересечения диаметра AO и плоскости касательной как D. Тогда OD = AO — OB = 3√6 — 3 см.
Так как OD является высотой прямоугольного треугольника BOD, то мы можем вычислить длину стороны треугольника:
BD = √(OB^2 — OD^2) = √(9 — 54/6) = √(27/2) см
Теперь мы можем вычислить длину дуги BC:
BC = 2√(r^2 — BD^2) = 2√(9 — 27/2) = 3√3 см
Таким образом, расстояние от точки B до точки С равно:
x = BC/2 = 3√3/2 см
Ответ: расстояние от точки касания до точки пересечения сферы с прямой, проходящей через центр сферы и точку А, равно 3√3/2 см.
