Вопрос школьника
Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, равен 2 см, а двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны 60°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — основание правильной четырехугольной пирамиды, а E — центр вписанной в нее сферы. Так как углы при ребрах основания равны 60°, то основание является правильным шестиугольником. Пусть O — центр этого шестиугольника, тогда OE — радиус вписанной сферы, а OD — высота пирамиды.
Так как ABCD — правильный шестиугольник, то его центр O совпадает с центром описанной окружности. Пусть R — радиус этой окружности. Тогда, так как угол AOB равен 60°, то треугольник AOB является равносторонним, и его сторона равна 2R.
Так как OE — радиус вписанной сферы, то OE = OD·tg(30°) = OD/√3. Также OE = R — радиус описанной окружности.
Отсюда получаем систему уравнений:
OE = OD/√3
OE = R — OD
2 = R·tg(30°)
Решая ее, находим:
OD = 2√3 см
R = 4/√3 см
OE = 2/√3 см
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды. Пусть M — середина ребра AB, тогда EM = OE = 2/√3 см. Так как AM = BM = 2R = 8/√3 см, то треугольник AME является равнобедренным, и его высота ME делит боковую грань пирамиды на две равные части.
Таким образом, боковая поверхность пирамиды состоит из 8 равных треугольников AME. Площадь одного такого треугольника равна:
S = (1/2)·AM·ME = (1/2)·(8/√3)·(2/√3) = 8/3 см²
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sб = 8S = 64/3 см².
