Вопрос школьника
Радіус вписаного у прямокутний трикутник кола позначено
через г, а половину периметра трикутника — через р.
Визначте гіпотенузу
Ответ от учителя
Прямоугольный треугольник имеет две катеты и гипотенузу. Пусть катеты равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда по теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2
Полупериметр треугольника равен:
p = (a + b + c) / 2
Так как радиус вписанной окружности равен г, то можно записать формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности:
S = p * г
Также можно записать формулу для площади треугольника через катеты:
S = (a * b) / 2
Сравнивая эти две формулы, получаем:
p * г = (a * b) / 2
Выразим a и b через г и p:
a = 2S / b = 2p * г / c
b = 2S / a = 2p * г / c
Подставим эти выражения в формулу для теоремы Пифагора:
c^2 = (2p * г)^2 / c^2 + (2p * г)^2 / c^2
c^4 = 4p^2 * г^2 + 4p^2 * г^2
c^4 = 8p^2 * г^2
c^2 = 2p * г
c = √(2p * г)
Таким образом, гипотенуза равна √(2p * г).
