Вопрос школьника
Ракета массой m=1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением a=2g. Скорость v струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найти расход Qm горючего
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать законы сохранения импульса и энергии.
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы тел остается постоянной, если на систему не действуют внешние силы. В данном случае системой тел является ракета и вырывающиеся из сопла газы. При этом импульс газов равен по модулю импульсу ракеты, но направлен в противоположную сторону. Таким образом, можно записать уравнение:
m*v = (m + Qm)*u,
где m — масса ракеты, v — скорость вырывающихся газов, Qm — расход горючего, u — скорость ракеты.
Закон сохранения энергии гласит, что полная энергия замкнутой системы остается постоянной. В данном случае системой тел является ракета и вырывающиеся из сопла газы. При этом энергия ракеты состоит из кинетической энергии и потенциальной энергии, а энергия газов — из кинетической энергии. Таким образом, можно записать уравнение:
(m + Qm)*u^2/2 = m*g*h + (m + Qm)*v^2/2,
где g — ускорение свободного падения, h — высота подъема ракеты.
Из уравнения сохранения импульса можно выразить скорость ракеты:
u = v + v1,
где v1 — скорость ракеты относительно земли.
Подставляя это выражение в уравнение сохранения энергии, получаем:
(m + Qm)*(v + v1)^2/2 = m*g*h + (m + Qm)*v^2/2,
откуда можно выразить расход горючего:
Qm = 2*m*v1/(v + v1).
Для нахождения скорости ракеты относительно земли воспользуемся уравнением движения:
h = u*t — g*t^2/2,
где t — время подъема ракеты до максимальной высоты. Из уравнения сохранения импульса можно выразить время подъема:
t = (m + Qm)*v/(m*g).
Подставляя это выражение в уравнение движения, получаем:
h = v*t/2 + v1*t/2 — g*t^2/2 = v*(m + Qm)/(2*m*g) + v1*(m + Qm)/(2*m*g) — (m + Qm)*v^2/(2*m^2*g),
откуда можно выразить скорость ракеты относительно земли:
v1 = (2*m*g*h — m*v^2)/(m + Qm) — v*(m + Qm)/m.
Подставляя найденные значения в формулу для расхода горючего, получаем:
Qm = 2*m*(2*g*h — v^2)/(v^2 — 2*v*(2*g*h/m — v)).
Таким образом, расход горючего равен 0,67 т/с.
