Вопрос школьника
Ракета поднимает спутник сначала на высоту h = R⊕ над поверхностью Земли, а затем запускает его на круговую орбиту на этой высоте Найдите отношение работ на поднятие А1 и на запуск А2 спутника
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.
Первоначально ракета поднимает спутник на высоту h = R⊕ над поверхностью Земли. Для этого необходимо преодолеть силу тяжести спутника, которая равна его массе умноженной на ускорение свободного падения g на поверхности Земли:
F = m * g
Работа, которую необходимо совершить для поднятия спутника на высоту h, равна произведению силы тяжести на высоту:
A1 = F * h = m * g * h
Затем ракета запускает спутник на круговую орбиту на высоте h. Для этого необходимо сообщить спутнику скорость, достаточную для преодоления силы тяжести и удержания его на орбите. Скорость, необходимая для круговой орбиты, определяется по формуле:
v = √(GM / r)
где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, r — радиус орбиты.
Работа, которую необходимо совершить для запуска спутника на орбиту, равна изменению его кинетической энергии:
A2 = ΔK = (1/2) * m * v^2
Подставляя выражение для скорости в формулу для работы, получаем:
A2 = (1/2) * m * (GM / r)
Отношение работ на поднятие и на запуск спутника можно выразить как:
A1 / A2 = (m * g * h) / [(1/2) * m * (GM / r)]
Сокращая массу спутника, получаем:
A1 / A2 = 2 * g * h / (GM / r)
Заменяя высоту h на радиус орбиты r, получаем:
A1 / A2 = 2 * g * r / GM
Таким образом, отношение работ на поднятие и на запуск спутника зависит только от высоты орбиты и гравитационной постоянной. При увеличении высоты орбиты отношение работ уменьшается, а при увеличении гравитационной постоянной — увеличивается.
