Вопрос школьника
Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее расстояние r планеты Марс от Солнца равно 1,5 а. е. В течение какого времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы Кеплера и формулы, связывающие период обращения планеты вокруг Солнца с ее средним расстоянием от Солнца.
Согласно первому закону Кеплера, планеты движутся по эллиптическим орбитам, на одном из фокусов которых находится Солнце. Ракета, запущенная с Земли на Марс, также движется по эллиптической орбите вокруг Солнца.
Среднее расстояние r планеты Марс от Солнца равно 1,5 а. е. (а. е. — астрономическая единица, равная среднему расстоянию Земли от Солнца). Это означает, что расстояние между Марсом и Солнцем меняется в течение года, но среднее значение этого расстояния равно 1,5 а. е.
Согласно второму закону Кеплера, планеты движутся по равным площадям за равные промежутки времени. Это означает, что скорость планеты на ее орбите не постоянна, а меняется в зависимости от расстояния до Солнца.
Согласно третьему закону Кеплера, квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу ее среднего расстояния от Солнца. То есть, если обозначить период обращения планеты как T, а ее среднее расстояние от Солнца как r, то будет выполняться следующее соотношение:
T^2 = k*r^3,
где k — постоянная, зависящая только от массы Солнца и не зависящая от планеты.
Из этого соотношения можно выразить период обращения планеты вокруг Солнца:
T = sqrt(r^3/k).
Для Марса среднее расстояние от Солнца равно 1,5 а. е. Постоянная k для Солнца равна 4π^2/GM, где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца. Подставляя значения, получаем:
k = 4π^2/(6,67*10^-11*1,989*10^30) ≈ 1,88*10^-19.
Тогда период обращения Марса вокруг Солнца будет равен:
T = sqrt((1,5*149,6*10^9)^3/1,88*10^-19) ≈ 5,93*10^7 секунд.
Чтобы определить время полета ракеты до Марса, необходимо знать, на каком расстоянии от Солнца находится Марс в момент запуска ракеты, а также на каком расстоянии от Солнца находится Марс в момент, когда ракета достигнет его орбиты.
Пусть ракета была запущена в момент, когда Марс находился на расстоянии r1 от Солнца, а достигла его орбиты в момент, когда Марс находился на расстоянии r2 от Солнца. Тогда время полета ракеты будет равно разности времени, за которое Марс пройдет расстояние между точками r1 и r2 на своей орбите.
Для расчета этого времени можно воспользоваться законом равных площадей Кеплера. Если обозначить скорость ракеты как v, а площадь, занимаемую ракетой на орбите Марса, как S, то время полета ракеты можно выразить следующим образом:
t = S/v.
Площадь S можно выразить через радиусы орбит Марса и ракеты, а также через угол между линиями, соединяющими Солнце с Марсом и ракетой в момент запуска и в момент встречи. Этот угол можно найти, зная время полета ракеты и период обращения Марса вокруг Солнца.
Таким образом, для расчета времени полета ракеты до Марса необходимо знать точное время запуска ракеты, точное расстояние от Солнца до Марса в момент запуска и в момент встречи, а также скорость ракеты и угол между линиями, соединяющими Солнце с Марсом и ракетой в момент запуска и в момент встречи.
