Вопрос школьника
Рамка с подвижной медной перекладиной затянута мыльной плёнкой. Каков должен быть диаметр d и длина перекладины L, чтобы она находилась в равновесии, если известно, что при смещении перекладины на Δх совершается работа δА? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора σ.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать принцип наименьшего действия. При смещении перекладины на Δх происходит изменение поверхности мыльной пленки, что приводит к изменению ее потенциальной энергии. Работа δА, совершаемая при смещении перекладины, равна изменению потенциальной энергии системы:
δА = ΔU
Потенциальная энергия системы можно выразить через поверхностное натяжение σ, длину перекладины L и смещение Δх:
U = σLΔх
Тогда:
δА = ΔU = σLΔх
Для того чтобы перекладина находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма сил, действующих на нее, была равна нулю. Сила, действующая на перекладину со стороны мыльной пленки, равна произведению поверхностного натяжения на длину контактной линии, то есть:
F = σL
Таким образом, условие равновесия можно записать в виде:
F = σL = mg
где m — масса перекладины, g — ускорение свободного падения.
Выразив массу перекладины через ее объем и плотность, получим:
m = ρV = ρπ(d/2)²L
Тогда:
σL = ρπ(d/2)²Lg
Откуда можно выразить диаметр перекладины:
d = √(4σ/ρg)
А длину перекладины можно выразить через смещение Δх и коэффициент упругости k:
L = Δх/k
Коэффициент упругости можно найти, используя закон Гука для упругой деформации пленки:
F = kΔL
где ΔL — изменение длины пленки.
Изменение длины пленки можно выразить через изменение ее площади ΔS и ее коэффициент поверхностного натяжения σ:
ΔL = ΔS/σ
Изменение площади пленки можно выразить через смещение перекладины Δх и ее длину L:
ΔS = 2LΔх
Тогда:
F = kΔL = kΔS/σ = 2kLΔх/σ
Сравнивая это выражение с выражением для силы, действующей на перекладину, можно найти коэффициент упругости:
k = σL²/(2Δх)
Таким образом, для того чтобы перекладина находилась в равновесии, необходимо знать коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора σ, смещение перекладины Δх и работу δА, совершаемую при этом смещении. По этим данным можно вычислить диаметр перекладины d и ее длину L.
