Вопрос школьника
Расстояние между фокусами гиперболы равно 6 см, константа с равна 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек гиперболы до фокусов? Укажите соответствующие точки на гиперболе.
Ответ от учителя
Для гиперболы с заданными параметрами уравнение имеет вид:
(x^2 / 16) — (y^2 / 4) = 1
Фокусы гиперболы находятся на оси x, поэтому координаты фокусов будут (c, 0) и (-c, 0), где c — расстояние между фокусами, равное 6 см. Таким образом, координаты фокусов будут (3, 0) и (-3, 0).
Наименьшее расстояние от точек гиперболы до фокусов равно половине расстояния между фокусами, то есть 3 см.
Чтобы найти точки гиперболы, в которых достигается наименьшее расстояние до фокусов, необходимо найти точки пересечения гиперболы с перпендикулярами, опущенными из фокусов на ось x.
Уравнение перпендикуляра, опущенного из фокуса (3, 0), на ось x имеет вид x = 3. Подставляя x = 3 в уравнение гиперболы, получаем:
(3^2 / 16) — (y^2 / 4) = 1
9/16 — (y^2 / 4) = 1
y^2 = (7/16) * 4
y = ±√(7/4)
Таким образом, точки пересечения гиперболы с перпендикуляром, опущенным из фокуса (3, 0), имеют координаты (3, √(7/4)) и (3, -√(7/4)).
Аналогично, перпендикуляр, опущенный из фокуса (-3, 0), находится на прямой x = -3, и точки пересечения гиперболы с этим перпендикуляром имеют координаты (-3, √(7/4)) и (-3, -√(7/4)).
Таким образом, наименьшее расстояние от точек гиперболы до фокусов равно 3 см, а соответствующие точки на гиперболе имеют координаты (3, √(7/4)), (3, -√(7/4)), (-3, √(7/4)) и (-3, -√(7/4)).
