Вопрос школьника
Расстояние между серединами взаимно перпендикулярных хорд АС и ВС некоторой окружности равно 10. Найдите диаметр окружности.
Ответ от учителя
Пусть O — центр окружности, а M и N — середины хорд АС и ВС соответственно. Так как хорды АС и ВС перпендикулярны, то OM и ON являются высотами треугольников АСО и ВСО соответственно. Также известно, что OM = ON = 5 (по условию задачи).
Так как высоты треугольников АСО и ВСО пересекаются в точке O, то эта точка является ортоцентром треугольника АВС. Таким образом, диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен удвоенному расстоянию от центра окружности до ортоцентра треугольника.
Для нахождения этого расстояния воспользуемся формулой Эйлера для ортоцентра треугольника:
OH^2 = 9R^2 — (a^2 + b^2 + c^2)
где OH — расстояние от центра окружности до ортоцентра, R — радиус описанной окружности, а, b, c — стороны треугольника.
Так как треугольник АВС прямоугольный, то a^2 + b^2 = c^2, и формула Эйлера принимает вид:
OH^2 = 9R^2 — 2c^2
Так как хорды АС и ВС равны между собой, то стороны треугольника АВС также равны между собой. Пусть длина каждой стороны равна x. Тогда c = x*sqrt(2) (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АВС).
Подставляя это значение в формулу Эйлера, получаем:
OH^2 = 9R^2 — 2x^2
Также известно, что OM = ON = 5. Так как треугольник АВС прямоугольный, то AM = BM = x/2 и CN = BN = x/2. Таким образом, ON^2 = OM^2 + MN^2, откуда MN = sqrt(ON^2 — OM^2) = sqrt(25 — 25) = 0.
Так как точка M лежит на прямой, проходящей через центр окружности и ортоцентр треугольника, то OM является медианой треугольника ОНМ. Таким образом, по теореме о медиане треугольника:
4OM^2 + 2MN^2 = 2ON^2 + 2OH^2
Подставляя известные значения, получаем:
4*5^2 + 2*0^2 = 2*5^2 + 2OH^2
Откуда OH^2 = 25, и, следовательно, OH = 5.
Таким образом, диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2*OH = 10.
