Вопрос школьника
Расстояние от середины хорды АС окружности до диаметра АВ равно 4 см. Найдите хорду ВС, если BAC = 30.
Ответ от учителя
Пусть точка O — центр окружности, а точка M — середина хорды АС. Также обозначим точку пересечения хорды АС и диаметра АВ как точку D.
Так как точка M — середина хорды АС, то OM перпендикулярна к АС и делит ее пополам. Значит, AM = MC.
Также, так как BAC = 30, то угол BOC = 2 * BAC = 60. Значит, треугольник BOC — равносторонний, и BO = OC = R (R — радиус окружности).
Так как точка M лежит на перпендикуляре, опущенном из центра окружности на хорду АС, то OM = R * sin(BAC) = R * sin(30) = R / 2.
Таким образом, AM = MC = R / 2.
Также, так как расстояние от середины хорды АС до диаметра АВ равно 4 см, то MD = 4 см.
Так как точка D — середина хорды АВ, то AD = DB = R.
Теперь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения хорды ВС:
BC^2 = BD^2 + DC^2 = R^2 + (2 * MD)^2 = R^2 + 16
Таким образом, хорда ВС равна sqrt(R^2 + 16). Осталось только найти R.
Так как треугольник BOC — равносторонний, то угол BOM = 30. Также, так как OM = R / 2, то BM = R / 2 * tan(30) = R / (2 * sqrt(3)).
Таким образом, BC = 2 * BM = R / sqrt(3).
Также, так как AM = R / 2, то AC = 2 * AM = R.
Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения R:
AC^2 = BC^2 + AB^2 — 2 * BC * AB * cos(BAC)
R^2 = (R^2 / 3) + (BC^2 + R^2) — 2 * BC * R * cos(30)
R^2 = (4 / 3) * R^2 + (R^2 / 3) + R^2 — (2 / sqrt(3)) * R^2
R^2 = (7 / 3) * R^2 — (2 / sqrt(3)) * R^2
R^2 = (7 — (2 * sqrt(3))) / 3 * R^2
R = sqrt((7 — (2 * sqrt(3))) / 3) * R
Таким образом, хорда ВС равна sqrt(R^2 + 16), где R = sqrt((7 — (2 * sqrt(3))) / 3) * R. Подставив значение R, можно найти хорду ВС.
