Вопрос школьника
Расстояние от вершины C треугольника ABC до прямой AB вдвое меньше BC. Через точку A проведена прямая a, параллельная BC. Найдите расстояние от точки C до прямой a, если AB = 10 см.
Ответ от учителя
Пусть расстояние от точки C до прямой AB равно h. Тогда, согласно условию задачи, расстояние от точки C до прямой a будет равно 2h.
Чтобы решить задачу, нам нужно найти значение h. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AC² = AB² — BC²
Так как AB = 10 см, нам нужно найти значение BC. Обратимся к прямой a, параллельной BC. Так как BC и a параллельны, то угол BAC является прямым. Тогда треугольник ABC подобен треугольнику ACD (где D — точка пересечения прямых a и AC), так как у них два угла равны. Из подобия треугольников следует, что:
BC/AC = AC/CD
BC = AC²/CD
Но мы знаем, что AC² = AB² — BC², поэтому:
BC = AB²/(CD² + AB²)
Теперь нам нужно найти значение CD. Обратимся к прямоугольному треугольнику ACD:
CD² = AC² — AD²
Но мы знаем, что AD = BC (так как AD и BC параллельны и соответственные углы равны), поэтому:
CD² = AC² — BC²
Таким образом, мы нашли значения BC и CD, и можем вычислить значение h:
h = CD/2 = √(AC² — BC²)/2 = √(100 — AB²/(CD² + AB²))/2
Подставляя значения AB и BC, получаем:
h = √(100 — 100/(CD² + 100))/2
Теперь осталось найти значение CD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
BC² = AB² — AC²
Так как AB = 10 см, мы можем выразить AC через CD:
AC = CD + h
Подставляя значения BC и AC, получаем:
( CD² + h² ) = 100 — (CD + h)²
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:
3CD² + 6CDh — h² — 100 = 0
Решая его относительно CD, получаем:
CD = (-6h ± √(36h² + 1200h))/6
Так как CD должно быть положительным, мы выбираем только положительный корень:
CD = (-6h + √(36h² + 1200h))/6
Теперь мы можем подставить найденное значение CD в формулу для h и вычислить ответ:
h = √(100 — 100/(CD² + 100))/2
h = √(100 — 100/((-6h + √(36h² + 1200h))/6)² + 100))/2
h = √(100 — 100/(36h² — 12h√(36h² + 1200h) + 100))/2
h = √((3600h² — 1200h√(36h² + 1200h))/(36h² — 12h√(36h² + 1200h) + 100))/2
h = √(3600 — 1200√(36h² + 1200h))/(6√(36h² — 12h√(36h² + 1200h) + 100))
Таким образом, мы нашли формулу для расстояния h от точки C до прямой AB. Подставляя значение AB = 10 см, мы можем вычислить ответ для любого значения h. Например, если h = 2 см, то:
CD = (-6h + √(36h² + 1200h))/6 = (-12 + √(144 + 2400))/6 ≈ 2,23 см
Тогда расстояние от точки C до прямой a будет равно 2h = 4 см.
