Вопрос школьника
Растянутая пружина, сокращаясь, увлекает за собой тело массой 50 кг по горизонтальной плоскости без трения. В момент, когда деформация пружины равна нулю, скорость тела равна 5 м/с. На сколько была растянута пружина, если ее жесткость равна 10 000 Н/м?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При растяжении пружины ее потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая энергия тела уменьшается. При сокращении пружины происходит обратный процесс: потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия тела увеличивается.
Изначально пружина была растянута на некоторое расстояние $x$. При этом ее потенциальная энергия равна:
$$
E_{text{пр}} = frac{1}{2} k x^2,
$$
где $k$ — жесткость пружины.
Кинетическая энергия тела равна:
$$
E_{text{кин}} = frac{1}{2} m v^2,
$$
где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость.
При сокращении пружины ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию тела. При этом потенциальная энергия пружины становится равной нулю, а кинетическая энергия тела равна:
$$
E_{text{кин}}’ = frac{1}{2} m v’^2,
$$
где $v’$ — скорость тела после сокращения пружины.
Закон сохранения энергии гласит, что сумма потенциальной и кинетической энергий в начальный момент времени равна сумме потенциальной и кинетической энергий в конечный момент времени:
$$
E_{text{пр}} + E_{text{кин}} = E_{text{кин}}’ + 0.
$$
Подставляя выражения для потенциальной и кинетической энергий, получаем:
$$
frac{1}{2} k x^2 + frac{1}{2} m v^2 = frac{1}{2} m v’^2.
$$
Выразим из этого уравнения расстояние $x$:
$$
x = sqrt{frac{m}{k} left(v^2 — v’^2right)}.
$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$
x = sqrt{frac{50,text{кг}}{10,000,text{Н/м}} left(5^2 — 0^2right)} approx 0.5,text{м}.
$$
Таким образом, пружина была растянута на 0.5 м.
