Вопрос школьника
Равнобедренная трапеция описано около окружности радиуса 3√5 . Найдите тангенс угла при большем основании трапеции, если её средняя линия равна 15
Ответ от учителя
Пусть AB и CD — основания равнобедренной трапеции ABCD, причем AB > CD. Пусть M — середина отрезка AB, N — середина отрезка CD, O — центр описанной окружности. Так как трапеция равнобедренная, то AM = MB = x, CN = ND = y, и средняя линия MN = (AB + CD)/2 = (2x + 2y)/2 = x + y = 15.
Так как O — центр описанной окружности, то OM = ON = r, где r — радиус окружности. Также из прямоугольного треугольника OMB можно выразить x через r:
x^2 + r^2 = (3√5)^2 = 45
x^2 = 45 — r^2
Аналогично, из прямоугольного треугольника OND можно выразить y через r:
y^2 + r^2 = CD^2 = AB^2 — 4x^2 = (2x)^2 — 4x^2 = 4x^2 — 4x^2 = 0
y = 0
Таким образом, CD = 2y = 0, что противоречит условию AB > CD. Значит, такой трапеции не существует.
Ответ: не существует.
