Вопрос школьника
Равнобедренные треугольники ABC i ADC имеют общую основу АС. Прямая BD пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что АЕ = ЕС
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABD и треугольник CBD. Они имеют общую сторону BD и равным углам при вершине B соответственно углы A и C. Значит, они равны по двум сторонам и углу, то есть треугольники ABD и CBD равны.
Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что углы ABD и CBD равны, а значит, они дополняют друг друга до 180 градусов. То есть угол ABE равен углу CBE.
Рассмотрим теперь треугольник ABE. Он имеет углы ABE и AEB, которые равны между собой, так как треугольник ABD равнобедренный. Значит, угол BAE равен углу BEA.
Аналогично, рассмотрим треугольник CBE. Он имеет углы CBE и CEB, которые равны между собой, так как треугольник CBD равнобедренный. Значит, угол BCE равен углу BCE.
Из равенства углов ABE и CBE следует, что угол BAE равен углу BCE. Но это значит, что треугольник ABC равнобедренный, так как у него две равные стороны AB и BC и равны углы при вершинах A и C.
Теперь рассмотрим треугольник AEC. Он имеет углы AEC и ACE, которые равны между собой, так как треугольник ABC равнобедренный. Значит, стороны AE и EC равны, так как они противолежат равным углам.
Таким образом, мы доказали, что AE = EC.
