Вопрос школьника
Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB=∠ACB; б) DO = ОС
Ответ от учителя
Для доказательства утверждений а) и б) воспользуемся свойствами равнобедренных треугольников.
а) Так как треугольники ADC и BCD равнобедренные, то у них равны основания DC и BC соответственно, а также равны углы ADC и BDC, соответствующие этим основаниям. Также из условия задачи следует, что прямая AB пересекает отрезок CD в точке О. Тогда угол ADO равен углу BCO, так как они являются вертикальными. А угол ADB равен сумме углов ADO и BCO. Следовательно, угол ADB равен углу ACB, так как углы ADO и BCO равны.
б) Рассмотрим треугольники ADO и BCO. Они равнобедренные, так как у них равны углы AOD и BOC, соответственно, и у них равны основания OD и OC, соответственно. Также из условия задачи следует, что прямая AB пересекает отрезок CD в точке О. Тогда угол ADO равен углу BCO, так как они являются вертикальными. А угол AOD равен углу BOC, так как они являются соответственными углами при равных сторонах. Следовательно, треугольники ADO и BCO равны по двум сторонам и углу между ними, то есть они равны. Следовательно, OD = OC.
