Вопрос школьника
Равнобедренный треугольник ABC вращается около его основания АС. Вычислите площадь поверхности тела, полученного в результате вращения этого треугольника, если АС = 8 см, а его высота ОВ — 3 см (рис. 94, б, в).
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно найти длину дуги, которую описывает каждая точка равнобедренного треугольника при вращении вокруг оси АС, и затем сложить площади всех маленьких поверхностей, образованных этими дугами.
Для начала найдем радиус окружности, по которой вращается треугольник. Радиус окружности равен половине основания треугольника, то есть 4 см.
Затем найдем длину дуги, которую описывает каждая точка треугольника при вращении вокруг оси АС. Для этого воспользуемся формулой длины дуги окружности:
L = αr,
где L — длина дуги, α — центральный угол в радианах, r — радиус окружности.
Центральный угол α можно найти, зная, что треугольник ABC равнобедренный, то есть угол BAC равен углу BCA. Значит, центральный угол α равен углу BAC плюс угол BCA, то есть 2 угла BAC. Угол BAC можно найти, зная, что треугольник ABC прямоугольный и угол BAC равен arctg(3/4) ≈ 36,87°. Таким образом, центральный угол α равен 2 × 36,87° = 73,74° = 1,29 рад.
Теперь можем найти длину дуги L:
L = 1,29 × 4 см ≈ 5,16 см.
Таким образом, каждая точка треугольника описывает дугу длиной примерно 5,16 см при вращении вокруг оси АС.
Теперь нужно разбить поверхность тела на маленькие поверхности, образованные этими дугами. Можно представить себе, что треугольник разбивается на бесконечно маленькие полоски, каждая из которых описывает дугу длиной dx при вращении вокруг оси АС. Площадь каждой такой полоски равна произведению длины дуги на ширину полоски, то есть Ldx. Суммируя площади всех таких полосок, получим площадь поверхности тела:
S = ∫0^3 Ldx = L∫0^3 dx = L × 3 см ≈ 15,48 см².
Таким образом, площадь поверхности тела, полученного в результате вращения равнобедренного треугольника ABC вокруг его основания АС, равна примерно 15,48 см².
