Вопрос школьника
Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен 56°. Найдите углы трапеции.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — равнобокая трапеция, где AB || CD, AB = CD. Пусть O — центр описанной окружности, причем O лежит на AB. Тогда AO = BO, CO = DO, и угол между диагоналями AC и BD равен 56°.
Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный, так как AO = CO (они равны радиусу описанной окружности), и угол AOC равен 2 углам ABC и ADC (он опирается на дугу AC окружности). Поэтому углы ABC и ADC равны (как соответствующие при равенстве боковых сторон и углов).
Таким образом, углы ABC и ADC равны между собой и дополняются до 180° (так как AB || CD). Поэтому каждый из этих углов равен 180°/2 — 56° = 64°.
Ответ: углы трапеции ABCD равны 64°, 64°, 116°, 116°.
