Вопрос школьника
РАВС — треугольная пирамида, (РА) ⊥ (ABC), ∠ACB = 90°, |АС| + |СВ| = 18. Угол между плоскостями РВС и ABC равен 30°. Какой наибольший объём имеет такая пирамида?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти высоту пирамиды и ее основание, а затем применить формулу для объема пирамиды.
Из условия задачи известно, что треугольник ABC прямоугольный, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AB:
AB² = AC² + BC²
AB² = (|AC| + |CV|)² + BV²
AB² = (18 — |CV|)² + BV²
Также из условия задачи известно, что угол между плоскостями РВС и ABC равен 30°. Это означает, что угол между РВ и РС равен 30°, так как эти отрезки лежат в плоскости РВС. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти высоту пирамиды:
h = |RS| * sin(30°)
h = |RS| / 2
Теперь мы можем использовать формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h
где S — площадь основания пирамиды. Мы можем найти S, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * AB * AC
S = (1/2) * AB * (18 — |CV|)
Таким образом, мы можем записать формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) * (1/2) * AB * (18 — |CV|) * (|RS| / 2)
V = (1/12) * AB * (18 — |CV|) * |RS|
Теперь мы можем найти максимальный объем пирамиды, используя методы дифференциального исчисления. Для этого мы должны найти производную функции V по переменной |CV| и приравнять ее к нулю:
dV/d|CV| = (1/12) * AB * (-1) * |RS| = 0
Отсюда следует, что AB = 0, то есть пирамида вырождается в точку и не имеет объема. Это означает, что максимальный объем пирамиды достигается при |CV| = 0, то есть когда точка С лежит на прямой AB.
В этом случае мы можем найти длину стороны AB, используя формулу:
AB² = AC² + BC²
AB² = 18² / 2
AB = 9√2
Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды:
S = (1/2) * AB * AC
S = (1/2) * 9√2 * 9√2
S = 81
И высоту пирамиды:
h = |RS| / 2
h = √(18² — (9√2)²) / 2
h = 9
Теперь мы можем найти максимальный объем пирамиды:
V = (1/3) * S * h
V = (1/3) * 81 * 9
V = 243
Таким образом, максимальный объем пирамиды равен 243 кубическим единицам.
