Вопрос школьника
Разность сторон прямоугольника равна 17 см. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 7:24. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.
Ответ от учителя
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a>b$. Тогда из условия задачи имеем систему уравнений:
$$begin{cases}a-b=17 \ \ frac{a}{b}=frac{24}{7}end{cases}$$
Решая эту систему, находим $a=68$ и $b=51$.
Пусть $AC$ и $BD$ — диагонали прямоугольника $ABCD$, пересекающиеся в точке $O$. Тогда биссектриса прямого угла $AOB$ делит диагональ $AC$ в отношении $7:24$, то есть
$$frac{AO}{OC}=frac{7}{24}$$
Так как $AO=BO$ (так как $ABCD$ — прямоугольник), то получаем
$$frac{BO}{OC}=frac{7}{24}$$
Отсюда следует, что
$$frac{BO}{BC}=frac{7}{31}$$
Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Пусть $R$ — радиус описанной окружности этого треугольника. Тогда по формуле для радиуса описанной окружности имеем
$$R=frac{BC}{2sinangle BOC}$$
Но $angle BOC=2angle BAC$, где $angle BAC$ — угол между диагоналями $AC$ и $BD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $angle BAC=45^circ$, и следовательно, $angle BOC=90^circ$. Таким образом,
$$R=frac{BC}{2sin 90^circ}=frac{BC}{2}$$
Но $BC=sqrt{BO^2+OC^2}$, и из соотношения $frac{BO}{BC}=frac{7}{31}$ следует, что $BO=frac{7}{31}cdot BC$. Подставляя это в выражение для $R$, получаем
$$R=frac{1}{2}cdotsqrt{left(frac{7}{31}cdot BCright)^2+OC^2}$$
Осталось выразить $BC$ и $OC$ через стороны прямоугольника. Из прямоугольного треугольника $BOC$ имеем
$$OC=frac{ab}{sqrt{a^2+b^2}}$$
и
$$BC=sqrt{a^2+b^2}$$
Подставляя это в выражение для $R$, получаем
$$R=frac{1}{2}cdotsqrt{left(frac{7}{31}cdotsqrt{a^2+b^2}right)^2+left(frac{ab}{sqrt{a^2+b^2}}right)^2}$$
Упрощая это выражение, получаем
$$R=frac{1}{2}cdotsqrt{frac{49a^2b^2+31a^4+31b^4}{31(a^2+b^2)}}$$
Теперь осталось только подставить значения $a$ и $b$, которые мы нашли ранее:
$$R=frac{1}{2}cdotsqrt{frac{49cdot 68^2cdot 51^2+31cdot 68^4+31cdot 51^4}{31(68^2+51^2)}}approx 104.6text{ см}$$
Наконец, длина окружности, описанной около треугольника $BOC$, равна $2pi R$, то есть
$$L=2pi Rapprox 656.5text{ см}$$
Ответ: $Lapprox 656.5text{ см}$.
