Вопрос школьника
Развёрнутый угол разделён лучами на три угла. Второй угол больше первого на 15°, а третий больше второго на 18°. 1) Найдите величины углов, на которые разделён развёрнутый угол. 2) Найдите величину угла, образованного биссектрисами меньшего и большего из этих углов.
Ответ от учителя
1) Пусть развёрнутый угол имеет меру $alpha$. Тогда первый угол равен $frac{alpha}{3}$, второй угол равен $frac{alpha}{3}+15^circ$, а третий угол равен $frac{alpha}{3}+15^circ+18^circ=frac{alpha}{3}+33^circ$. Сумма всех трёх углов равна $alpha$, поэтому получаем уравнение:
$$frac{alpha}{3}+left(frac{alpha}{3}+15^circright)+left(frac{alpha}{3}+33^circright)=alpha.$$
Решая его, получаем $alpha=162^circ$. Таким образом, первый угол равен $frac{162^circ}{3}=54^circ$, второй угол равен $54^circ+15^circ=69^circ$, а третий угол равен $69^circ+18^circ=87^circ$.
2) Пусть $A$, $B$ и $C$ — вершины развёрнутого угла, а $D$ — точка пересечения биссектрис углов $ABC$ и $AC$. Тогда угол $ABD$ равен $frac{1}{2}angle ABC=frac{1}{2}cdot 87^circ=43.5^circ$, а угол $CBD$ равен $frac{1}{2}angle ACB=frac{1}{2}cdot 54^circ=27^circ$. Таким образом, угол $ABD$ больше угла $CBD$ на $16.5^circ$. Но угол $ABD$ также больше угла $CBD$ на угол $ABC$, который равен $87^circ-54^circ=33^circ$. Значит, угол $ABD$ равен $27^circ+33^circ=60^circ$.
