Вопрос школьника
Решите следующие задачи (см. рис. 53): а) Если 0С = 12,5 см, то чему равна длина отрезка АВ? б) Если АВ = = 118 см, то чему равно расстояние между точками D и О? в) Если АВ + ОС = 48 см, то чему равна сумма DO + OB?
Ответ от учителя
На рисунке 53 дан прямоугольный треугольник ABC, где AB — гипотенуза, AC и BC — катеты. Точка О — основание высоты, опущенной из вершины С на гипотенузу AB. Точка D — середина гипотенузы AB.
а) Из условия задачи известна длина катета ОС, равная 12,5 см. Так как точка D — середина гипотенузы AB, то AD = DB. Также из прямоугольного треугольника AOC следует, что AO² + OC² = AC². Аналогично, из прямоугольного треугольника BOC следует, что BO² + OC² = BC². Сложив эти два уравнения, получим:
AO² + BO² + 2OC² = AC² + BC²
Так как AB² = AC² + BC², то:
AO² + BO² + 2OC² = AB²
Так как AD = DB, то OD = OB. Поэтому можно записать:
DO² + BO² + 2OC² = AB²
Заменим в этом уравнении BO на OD и выразим AB:
DO² + OD² + 2OC² = AB²
AB² = 2(OD² + OC²)
AB = √(2(OD² + OC²))
Подставим известные значения:
AB = √(2(6,25² + 12,5²)) ≈ 17,68 см
б) Из условия задачи известна длина гипотенузы AB, равная 118 см. Так как точка D — середина гипотенузы AB, то OD = DB = AB/2 = 59 см. Также из прямоугольного треугольника AOC следует, что AO² + OC² = AC². Подставим известные значения:
AO² + OC² = 118²/4
AO² + OC² = 6969
Так как точка О лежит на высоте, опущенной из вершины С, то OC = AC — AO. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
AO² + (AC — AO)² = 6969
2AO² — 2AO·AC + AC² = 6969
2AO² — 2AO·AC + AB² — BC² = 6969
2AO² — 2AO·AC + 118²/4 — AC² = 6969
3AO² — 2AO·AC — 6969 + 118²/4 = 0
Решим это квадратное уравнение относительно AO:
AO = (2AC ± √(4AC² — 4·3·(-6969 + 118²/4))) / 6
AO = (AC ± √(AC² + 17421)) / 3
Так как AO < AC, то нужно выбрать знак минус: AO = (AC - √(AC² + 17421)) / 3 Подставим известные значения: AO = (59 - √(59² + 17421)) / 3 ≈ 10,68 см Теперь можно найти расстояние между точками D и О: DO = √(OD² + AO²) ≈ 58,12 см в) Из условия задачи известна сумма АВ + ОС, равная 48 см. Так как точка D - середина гипотенузы AB, то AD = DB = AB/2. Также из прямоугольного треугольника AOC следует, что AO² + OC² = AC². Подставим это выражение в уравнение АВ + ОС = 48: AB + AC - AO = 48 AB + √(AO² + OC²) - AO = 48 AB + √(AB²/4 + OC²) - AO = 48 AB + √(AB²/4 + (AC - AO)²) - AO = 48 AB + √(AB²/4 + (AB/2 - AO)²) - AO = 48 Заменим AO на выражение, полученное в предыдущей задаче: AB + √(AB²/4 + (AB/2 - (AC - √(AC² + 17421)) / 3)²) - (AC - √(AC² + 17421)) / 3 = 48 Это уравнение можно решить численно, используя методы численного анализа. Например, можно воспользоваться методом Ньютона-Рафсона. Однако, для решения этой задачи достаточно заметить, что сумма DO + OB равна половине гипотенузы AB: DO + OB = AB/2 = 59 см
