Вопрос школьника
С какой начальной скоростью v0 надо бросить вертикально вниз мяч с высоты Л, чтобы он после удара о землю подпрыгнул относительно начального уровня на высоту: a) Δh = 10 м; б) Δh = h? Считать удар абсолютно упругим
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.
а) При вертикальном броске мяча с высоты Л его начальная потенциальная энергия равна mgh, где m — масса мяча, g — ускорение свободного падения, h — высота броска. При ударе о землю мяч теряет всю свою потенциальную энергию и превращает ее в кинетическую энергию движения. После удара мяч начинает движение вверх, при этом его скорость уменьшается до нуля на высоте Δh = 10 м. Затем мяч начинает падать вниз, при этом его скорость увеличивается до значения v1. При достижении земли мяч имеет скорость v2, равную по модулю скорости его начального броска.
Из закона сохранения энергии получаем:
mgh = (mv1^2)/2 + mgh1 + (mv2^2)/2,
где h1 — высота подпрыгивания мяча после удара о землю.
Из закона сохранения импульса следует, что импульс мяча до удара о землю равен импульсу мяча после удара о землю:
mv0 = mv1 + mv2.
Решая эту систему уравнений относительно v0, получаем:
v0 = √(2gh + 2gh1 + 2a^2),
где a = √(2gh1) — √(2gh) — 10 м/с — скорость мяча после удара о землю.
б) При подпрыгивании мяча на высоту h его начальная потенциальная энергия равна mgh, а кинетическая энергия равна нулю. После удара о землю мяч теряет всю свою потенциальную энергию и превращает ее в кинетическую энергию движения. При достижении мячом высоты h его скорость равна нулю, а его потенциальная энергия равна mgh. Затем мяч начинает падать вниз, при этом его скорость увеличивается до значения v1. При достижении земли мяч имеет скорость v2, равную по модулю скорости его начального броска.
Из закона сохранения энергии получаем:
mgh = (mv1^2)/2 + mgh + (mv2^2)/2,
где h — высота подпрыгивания мяча после удара о землю.
Из закона сохранения импульса следует, что импульс мяча до удара о землю равен импульсу мяча после удара о землю:
mv0 = mv1 + mv2.
Решая эту систему уравнений относительно v0, получаем:
v0 = √(2gh + 2mgh),
что можно упростить до:
v0 = √(2gh(1 + m)).
Таким образом, для того чтобы мяч после удара о землю подпрыгнул на заданную высоту, необходимо бросить его с определенной начальной скоростью, которая зависит от высоты броска и высоты подпрыгивания, а также от массы мяча.
