Вопрос школьника
С вершины прямого угла треугольника опустили высоту на гипотенузу. Докажите, что два треугольника, которые при этом образовавшиеся i данный треугольник имеют соответственно piвнi гocтpi углы
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и его высоты.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой, и H — точка пересечения высоты из вершины C с гипотенузой AB.
Тогда, по определению высоты, угол CHB также прямой.
Рассмотрим треугольники ABC и CHB.
У них общий угол C, а также углы BAC и CBH равны, так как это соответственные углы при параллельных прямых AB и CH.
Таким образом, по признаку подобия треугольников, эти два треугольника подобны.
Значит, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как высота CH является высотой треугольника ABC, то она делит его на два подобных треугольника.
Следовательно, отношение катета CH к гипотенузе AB равно отношению гипотенузы AB к катету AH.
То есть, CH/AB = AB/AH.
Отсюда следует, что CH*AH = AB^2.
Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу высота делит его на два подобных треугольника, у которых соответственные углы равны.
