Вопрос школьника
SABC — тетраэдр. Точка T — середина ребра SC, а точка O — середина отрезка TC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости AT B. Вычислите периметр этого сечения, если длина ребра тетраэдра равна 4 см.
Ответ от учителя
Для начала построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости ATB. Для этого нам нужно найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра.
Так как плоскость проходит через точку O, то она также проходит через середину ребра TC. Обозначим эту точку как M. Также заметим, что плоскость параллельна плоскости ATB, поэтому она также параллельна плоскости SAB.
Теперь найдем точки пересечения плоскости с ребрами тетраэдра. Для этого соединим точки O и M отрезком, который пересечет ребро AB в точке N. Также соединим точки O и T отрезком, который пересечет ребро SA в точке P и ребро SB в точке Q.
Теперь мы можем нарисовать сечение пирамиды. Оно будет представлять собой четырехугольник, образованный отрезками NP, PQ, QM и MN. Этот четырехугольник будет параллелограммом, так как его противоположные стороны NP и QM параллельны (они лежат на плоскости SAB), а также стороны PQ и MN параллельны (они лежат на плоскости, параллельной ATB).
Теперь осталось вычислить периметр этого параллелограмма. Для этого нам нужно найти длины его сторон. Заметим, что стороны NP и QM равны, так как они являются проекциями одного и того же отрезка на плоскости SAB и TCB соответственно. Также стороны PQ и MN равны, так как они являются проекциями одного и того же отрезка на параллельные плоскости ATB и TCB соответственно.
Длина отрезка NP (или QM) равна половине длины ребра тетраэдра, то есть 2 см. Длина отрезка PQ (или MN) равна расстоянию между плоскостями SAB и ATB, которое можно найти как высоту тетраэдра. Высота тетраэдра равна $frac{2}{3}$ от высоты правильной четырехугольной пирамиды, которая равна $frac{4sqrt{2}}{3}$ см. Таким образом, высота тетраэдра равна $frac{8sqrt{2}}{9}$ см, а расстояние между плоскостями SAB и ATB равно этой же величине.
Таким образом, периметр параллелограмма равен $2 cdot 2 + 2 cdot frac{8sqrt{2}}{9} = frac{40sqrt{2}}{9}$ см.
