Вопрос школьника
SABC — треугольная пирамида. Точка О лежит на ребре SA так, что SO : ОА = 2: 5. Через точку O проведена прямая l, параллельная медиане SK грани SBC. Вычислите длину медианы SK, если длина отрезка прямой l, расположенного внутри пирамиды, равна 7 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства параллелограмма.
Обозначим длину ребра пирамиды через a. Тогда, так как SO : ОА = 2: 5, то ОА = 5a/7, а SA = 2ОА = 10a/7.
Рассмотрим треугольник SBO. По теореме Пифагора:
BO^2 = BS^2 + SO^2,
где BS = BC/2 = a/2, SO = 2ОА = 10a/7. Подставляя значения, получаем:
BO^2 = (a/2)^2 + (10a/7)^2 = 25a^2/28.
Теперь рассмотрим параллелограмм SBCO. В нем диагональ BO делится пополам медианой SK. Также из свойств параллелограмма следует, что SK = BC/2 = a/2.
Таким образом, мы нашли длину медианы SK через длину ребра пирамиды a:
SK = a/2.
Осталось найти длину ребра пирамиды a. Для этого воспользуемся отрезком прямой l, который расположен внутри пирамиды и параллелен медиане SK. Рассмотрим треугольник SOK. Он подобен треугольнику SBC, так как углы при вершине S равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Таким образом, мы можем записать:
SK/SB = OK/BC,
или
a/2 = OK/a.
Отсюда получаем:
OK = a^2/2.
Теперь рассмотрим треугольник SOK. По теореме Пифагора:
SO^2 = SK^2 + OK^2,
где SO = 2ОА = 10a/7, SK = a/2 и OK = a^2/2. Подставляя значения, получаем:
(10a/7)^2 = (a/2)^2 + (a^2/2)^2.
Решая это уравнение относительно a, получаем:
a = 14√3 см.
Теперь мы можем найти длину медианы SK:
SK = a/2 = 7√3 см.
Ответ: длина медианы SK равна 7√3 см.
