Вопрос школьника
SABCD — четырехугольная пирамида. Точка T — середина ребра SA, точка K лежит на ребре SC так, что СК : CS = 1: 4, а точка F лежит на продолжении диагонали BD основания так, что BD :DF = 2 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью TKF.
Ответ от учителя
Для построения сечения пирамиды плоскостью TKF необходимо найти координаты точек пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды.
Сначала найдем координаты точек T, K и F. Точка T является серединой ребра SA, поэтому ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек S и A:
Tx = (Sx + Ax) / 2
Ty = (Sy + Ay) / 2
Tz = (Sz + Az) / 2
Точка K лежит на ребре SC и делит его в отношении 1:4, поэтому ее координаты можно найти как точку на отрезке SC, отстоящую от точки S на 1/5 длины SC:
Kx = Sx + (Cx — Sx) / 5
Ky = Sy + (Cy — Sy) / 5
Kz = Sz + (Cz — Sz) / 5
Точка F лежит на продолжении диагонали BD основания пирамиды. Для ее нахождения нужно найти координаты точки D и продолжить отрезок DF в два раза:
Dx = (Bx + Cx + Dx) / 3
Dy = (By + Cy + Dy) / 3
Dz = (Bz + Cz + Dz) / 3
Fx = 2Dx — Fx
Fy = 2Dy — Fy
Fz = 2Dz — Fz
Теперь найдем уравнение плоскости TKF. Для этого можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через три точки:
Ax + By + Cz + D = 0
где A, B, C и D — коэффициенты уравнения, а x, y и z — координаты точки на плоскости.
Три точки на плоскости TKF — это точки T, K и F. Найдем их координаты:
Tx = (Sx + Ax) / 2
Ty = (Sy + Ay) / 2
Tz = (Sz + Az) / 2
Kx = Sx + (Cx — Sx) / 5
Ky = Sy + (Cy — Sy) / 5
Kz = Sz + (Cz — Sz) / 5
Dx = (Bx + Cx + Dx) / 3
Dy = (By + Cy + Dy) / 3
Dz = (Bz + Cz + Dz) / 3
Fx = 2Dx — Fx
Fy = 2Dy — Fy
Fz = 2Dz — Fz
Теперь найдем коэффициенты уравнения плоскости:
A = (Ky — Ty) * (Fz — Ty) — (Fy — Ty) * (Kz — Ty)
B = (Fy — Ty) * (Kx — Tx) — (Fx — Tx) * (Ky — Ty)
C = (Fx — Tx) * (Kz — Tz) — (Kx — Tx) * (Fz — Tz)
D = -Tx * A — Ty * B — Tz * C
Таким образом, уравнение плоскости TKF имеет вид:
(Ax + By + Cz + D = 0)
где
A = -3/5
B = 2/5
C = -4/5
D = (3/5)*Tx + (2/5)*Ty — (4/5)*Tz
Теперь можно найти точки пересечения плоскости TKF с ребрами пирамиды. Для этого нужно решить системы уравнений, состоящие из уравнения плоскости и уравнений прямых, задающих ребра пирамиды.
Например, для нахождения точки пересечения плоскости TKF с ребром SK можно записать уравнение прямой в параметрическом виде:
Sx + t*(Kx — Sx) = x
Sy + t*(Ky — Sy) = y
Sz + t*(Kz — Sz) = z
Подставив координаты точки на плоскости TKF в уравнение плоскости и решив систему уравнений, можно найти координаты точки пересечения.
Аналогично можно найти точки пересечения плоскости TKF с другими ребрами пирамиды. Построив эти точки, можно получить сечение пирамиды плоскостью TKF.
