Вопрос школьника
SABCD — четырехугольная пирамида. Точки R и Q лежат на боковых ребрах SA и SB соответственно. Точка P лежит на продолжении ребра BC так, что ВС:СР = 2:1. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости PQR и SCD.
Ответ от учителя
Для начала построим пирамиду SABCD и отметим точки R, Q и P на соответствующих ребрах. Затем найдем координаты этих точек в пространстве.
Пусть точка S имеет координаты (0, 0, 0), а сторона SA имеет длину a. Тогда координаты точки A будут (a, 0, 0). Аналогично, координаты точек B, C и D будут (0, b, 0), (0, 0, c) и (0, 0, d) соответственно.
Точка R лежит на ребре SA, поэтому ее координаты можно найти, используя параметрическое уравнение этого ребра:
x = at, y = 0, z = 0,
где t — параметр, принимающий значения от 0 до 1. Если точка R находится на расстоянии r от точки S, то ее координаты будут (ar, 0, 0).
Аналогично, для точки Q находим:
x = 0, y = bt, z = 0,
где t — параметр, принимающий значения от 0 до 1. Если точка Q находится на расстоянии q от точки B, то ее координаты будут (0, bq, 0).
Точка P лежит на продолжении ребра BC, поэтому ее координаты можно найти, используя параметрическое уравнение этого отрезка:
x = 0, y = b + (c — b)t, z = (d — c)t,
где t — параметр, принимающий значения от 0 до 1. Если отношение BC к CR равно 2:1, то t = 2/3. Тогда координаты точки P будут (0, 2b/3 + c/3, d/3).
Теперь построим плоскость PQR. Для этого найдем векторы PQ и PR:
PQ = (-bq, 2b/3 + c/3 — bq, -d/3),
PR = (ar, 0, -d/3).
Их векторное произведение даст нормальный вектор плоскости:
n = PQ × PR = (-2abq, -ad/3 + 2bc/3 + bdq, abq).
Нормализуем его, чтобы получить единичный вектор:
n’ = n/|n| = (-2abq/√(a^2 + b^2 + d^2), (-ad/3 + 2bc/3 + bdq)/√(a^2 + b^2 + d^2), abq/√(a^2 + b^2 + d^2)).
Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точку P и имеющей нормальный вектор n’:
-2abq/√(a^2 + b^2 + d^2) * x + (-ad/3 + 2bc/3 + bdq)/√(a^2 + b^2 + d^2) * y + abq/√(a^2 + b^2 + d^2) * z = -2abq/√(a^2 + b^2 + d^2) * 2b/3 — ad/3 + 2bc/3 + bdq/√(a^2 + b^2 + d^2).
Аналогично, найдем уравнение плоскости SCD. Для этого найдем векторы SC и SD:
SC = (0, b, -c),
SD = (0, b, -d).
Их векторное произведение даст нормальный вектор плоскости:
n» = SC × SD = (-b(b — c), 0, 0).
Нормализуем его, чтобы получить единичный вектор:
n»’ = n»/|n»| = (-√(bc(b — c)), 0, 0).
Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точку S и имеющей нормальный вектор n»’:
-√(bc(b — c)) * x = 0.
Таким образом, плоскости PQR и SCD пересекаются по прямой, проходящей через точку P и параллельной оси x.
