Вопрос школьника
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, диагонали основания которой пересекаются в точке O. а) Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости основания данной пирамиды. б) Чему равен угол между прямыми SO и CD?
Ответ от учителя
а) Для доказательства перпендикулярности прямой SO к плоскости основания SABCD воспользуемся свойством, что прямая, проходящая через середину диагонали четырехугольника, перпендикулярна другой диагонали. Так как диагонали основания SABCD пересекаются в точке O, то прямая, проходящая через точку O и середину диагонали AB, будет перпендикулярна диагонали CD. Аналогично, прямая, проходящая через точку O и середину диагонали CD, будет перпендикулярна диагонали AB. Таким образом, точка O является центром окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD, и прямая SO, проходящая через центр окружности, будет перпендикулярна плоскости основания SABCD.
б) Угол между прямыми SO и CD можно найти, используя свойство, что угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между соответствующими наклонными плоскостями. Так как SABCD является правильной пирамидой, то все ее боковые грани равны и подобны, а значит, наклонные плоскости, проходящие через SO и CD, будут равны и подобны. Таким образом, угол между прямыми SO и CD будет равен углу между соответствующими наклонными плоскостями, которые являются равными и подобными. Так как угол между любыми двумя боковыми гранями правильной пирамиды равен ее углу ребра, то угол между прямыми SO и CD будет равен углу ребра SABCD.
