Вопрос школьника
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна а. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, середину ребра CD и параллельной диагонали AC основания. Найдите площадь этого сечения.
Ответ от учителя
Для начала построим пирамиду SABCD:
Теперь построим плоскость, проходящую через вершину S, середину ребра CD и параллельную диагонали AC основания. Для этого нарисуем плоскость, проходящую через точки S, M и N, где M — середина ребра CD, а N — точка на диагонали AC, параллельная ребру CD:
Теперь найдем точку пересечения этой плоскости с ребром AB. Для этого нарисуем прямую, проходящую через точки S и M, и пересекающую ребро AB в точке P:
Точка P является серединой ребра AB. Теперь нарисуем прямую, проходящую через точки P и N, и пересекающую ребро BC в точке Q:
Точка Q является серединой ребра BC. Теперь нарисуем прямую, проходящую через точки Q и M, и пересекающую ребро AD в точке R:
Точка R является серединой ребра AD. Теперь нарисуем прямую, проходящую через точки R и N, и пересекающую ребро CD в точке O:
Точка O является серединой ребра CD. Теперь нарисуем плоскость, проходящую через точки S, P и O:
Эта плоскость является искомым сечением пирамиды. Найдем его площадь. Для этого разобьем сечение на две части: треугольник SOP и трапецию POMQ:
Площадь треугольника SOP равна:
S1 = (1/2) * SP * SO,
где SP = a/2, SO = a/2, поскольку точки P и O являются серединами соответствующих ребер пирамиды. Таким образом,
S1 = (1/2) * (a/2) * (a/2) = a^2/8.
Площадь трапеции POMQ равна:
S2 = (1/2) * (PM + QO) * MO,
где PM = QO = a/4, MO = a/2, поскольку точки P и Q являются серединами соответствующих ребер, а точка M — середина ребра CD. Таким образом,
S2 = (1/2) * (a/4 + a/4) * (a/2) = a^2/16.
Итак, площадь сечения пирамиды равна:
S = S1 + S2 = a^2/8 + a^2/16 = 3a^2/16.
