Вопрос школьника
Самолет с размахом крыльев 15 м и мощностью двигателя 10 МВт летит горизонтально с постоянной скоростью. Определите силу тяги двигателей, если между концами крыльев наводится ЭДС 0,3 В. Вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 0,1 мТл.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться законом Эйнштейна-Ленца, который гласит, что индукционный ток, возникающий в замкнутом проводнике, пропорционален скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот проводник:
$E = -frac{dPhi}{dt}$,
где $E$ — ЭДС, возникающая в проводнике, $Phi$ — магнитный поток, пронизывающий проводник, $t$ — время.
В данной задаче магнитный поток, пронизывающий крылья самолета, изменяется в результате движения самолета в магнитном поле Земли. Вектор индукции магнитного поля Земли направлен вертикально вниз, поэтому магнитный поток, пронизывающий крылья самолета, меняется при движении самолета горизонтально.
Сила тяги двигателей равна силе, необходимой для преодоления силы сопротивления воздуха и поддержания постоянной скорости полета. В данной задаче сила сопротивления воздуха не учитывается, поэтому сила тяги равна силе, необходимой для преодоления силы тяжести самолета.
Сила тяжести самолета определяется по формуле:
$F_g = mg$,
где $m$ — масса самолета, $g$ — ускорение свободного падения.
Учитывая, что самолет летит горизонтально с постоянной скоростью, можно сделать вывод, что сила тяги равна силе тяжести:
$F_{тяги} = F_g = mg$.
Для определения массы самолета необходимо воспользоваться формулой для кинетической энергии:
$E_{к} = frac{mv^2}{2}$,
где $v$ — скорость самолета.
Учитывая, что мощность двигателя равна 10 МВт, можно выразить скорость самолета через мощность и силу тяги:
$P = F_{тяги}v = mgv$,
$v = frac{P}{mg} = frac{10cdot10^6}{mg}$.
Подставляя это выражение в формулу для кинетической энергии, получаем:
$E_{к} = frac{m}{2}left(frac{10cdot10^6}{mg}right)^2 = frac{5cdot10^{12}}{g^2}$.
Магнитный поток, пронизывающий крылья самолета, можно выразить через индукцию магнитного поля Земли и площадь крыльев:
$Phi = B S costheta$,
где $B$ — индукция магнитного поля Земли, $S$ — площадь крыльев, $theta$ — угол между вектором индукции магнитного поля Земли и плоскостью крыльев.
Учитывая, что вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли равна 0,1 мТл, можно выразить горизонтальную составляющую вектора индукции магнитного поля Земли:
$B_h = B sintheta = B cos 90^circ = 0$.
Таким образом, магнитный поток, пронизывающий крылья самолета, равен:
$Phi = B S costheta = B_v S sintheta = 0,1cdot10^{-3}cdot15cdot S = 1,5cdot10^{-3} S$.
Из закона Эйнштейна-Ленца следует, что ЭДС, возникающая в проводнике, пропорциональна скорости изменения магнитного потока:
$E = -frac{dPhi}{dt}$.
Учитывая, что магнитный поток меняется при движении самолета горизонтально, можно выразить скорость изменения магнитного потока через скорость самолета:
$frac{dPhi}{dt} = frac{d}{dt}(B_v S sintheta) = B_v S frac{d}{dt}(sintheta) = B_v S frac{d}{dt}left(frac{h}{sqrt{h^2 + L^2}}right) = B_v S frac{L}{(h^2 + L^2)^{3/2}}frac{dh}{dt}$,
где $h$ — высота полета самолета, $L$ — расстояние между концами крыльев.
Учитывая, что самолет летит горизонтально с постоянной скоростью, можно сделать вывод, что высота полета не меняется, поэтому $frac{dh}{dt} = 0$. Таким образом, скорость изменения магнитного потока равна нулю, и ЭДС, возникающая в проводнике, равна нулю.
Ответ: сила тяги двигателей равна силе тяжести самолета и определяется по формуле $F_{тяги} = mg$. ЭДС, возникающая в проводнике, равна нулю.
