Вопрос школьника
Сечение шара плоскостью, находящейся от его центра на расстоянии 12 см, имеет площадь 25п см2. Вычислите площади частей сферы, на которые плоскость разбивает поверхность шара.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать формулу площади сечения шара плоскостью, проходящей через его центр:
S = πr^2,
где S — площадь сечения, r — радиус шара.
Однако в данной задаче плоскость не проходит через центр шара, а находится на расстоянии 12 см от него. Поэтому нам нужно найти радиус сечения, который будет меньше радиуса шара.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, расстоянием от центра до плоскости и радиусом сечения:
r^2 = (r_1 + 12)^2 — r_1^2,
где r_1 — радиус сечения.
Раскроем скобки и упростим:
r^2 = r_1^2 + 24r_1 + 144 — r_1^2,
r^2 = 24r_1 + 144.
Теперь можем выразить радиус сечения через радиус шара:
r_1 = (r^2 — 144) / 24.
Подставим это выражение в формулу площади сечения и получим:
S = π((r^2 — 144) / 24)^2.
Из условия задачи известна площадь сечения — 25π см^2. Подставим это значение и решим уравнение относительно r:
25π = π((r^2 — 144) / 24)^2,
25 = (r^2 — 144) / 24,
r^2 — 144 = 600,
r^2 = 744,
r ≈ 27,3 см.
Теперь можем найти площади частей сферы, на которые плоскость разбивает поверхность шара. Для этого воспользуемся формулой площади поверхности сферы:
S_шара = 4πr^2.
Площадь сечения составляет 25π см^2, поэтому площадь оставшейся части поверхности шара будет:
S_ост = S_шара — 25π = 4πr^2 — 25π ≈ 2 345,6 см^2.
Теперь можем найти площади частей сферы, на которые плоскость разбивает поверхность шара. Для этого воспользуемся формулой площади сегмента сферы:
S_сегмента = 2πrh,
где h — высота сегмента.
Высоту сегмента можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы, радиусом сечения и высотой сегмента:
h^2 = r^2 — (r_1 + h)^2,
h^2 = r^2 — r_1^2 — 2r_1h — h^2,
2h^2 + 2r_1h = r^2 — r_1^2,
h = (r^2 — r_1^2) / (2r_1).
Подставим значения радиусов и найденную высоту в формулу площади сегмента:
S_1 = 2πr_1h = 2π((r^2 — 144) / 24) ((r^2 — (r^2 — 144)^2 / (4 * 24^2)) / ((2 * (r^2 — 144)) / 24)) ≈ 292,5 см^2.
Таким образом, площадь каждой из двух частей сферы, на которые плоскость разбивает поверхность шара, составляет примерно 292,5 см^2.
