Вопрос школьника
Секущая плоскость пересекает шар по кругу с центром в точке Т и радиусом 3 см. Вычислите расстояние от центра О шара до секущей плоскости, если радиус ОК шара равен 6 см (рис. 70, б).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства пересекающихся прямых.
Обозначим центр шара как точку О, центр круга на секущей плоскости как точку Т, а точки пересечения секущей плоскости с шаром как точки А и В (см. рисунок).
Так как круг на секущей плоскости имеет радиус 3 см, то отрезки ТА и ТВ равны 3 см. Также известно, что радиус шара ОК равен 6 см.
Рассмотрим треугольник ОТА. Он прямоугольный, так как отрезки ОТ и ТА являются радиусами шара и круга соответственно, а радиус и касательная к окружности перпендикулярны в точке касания. Таким образом, по теореме Пифагора:
$OT^2 = OA^2 + AT^2$
$OA^2 = OT^2 — AT^2$
$OA^2 = 6^2 — 3^2$
$OA^2 = 27$
$OA = sqrt{27} = 3sqrt{3}$
Таким образом, расстояние от центра О шара до секущей плоскости равно $OA = 3sqrt{3}$ см.
