Вопрос школьника
Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равна среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.
Ответ от учителя
Пусть гномы имеют росты a1, a2, …, a7. Тогда по условию задачи для каждого гнома выполняется следующее равенство:
a[i] = (a[i-1] + a[i+1]) / 2
где i — номер гнома.
Раскрыв скобки, получим:
2 * a[i] = a[i-1] + a[i+1]
Таким образом, каждый гном является средним арифметическим двух своих соседей. Заметим, что первый и последний гномы имеют только одного соседа, поэтому для них равенство принимает следующий вид:
a[1] = (a[2] + a[1]) / 2
a[7] = (a[6] + a[7]) / 2
Откуда следует, что a[1] = a[2] и a[6] = a[7].
Теперь рассмотрим гнома с номером i, где 2 <= i <= 6. Из равенства a[i] = (a[i-1] + a[i+1]) / 2 следует, что a[i-1] < a[i] < a[i+1]. Таким образом, росты гномов образуют возрастающую последовательность. Но мы уже знаем, что a[1] = a[2] и a[6] = a[7], поэтому все гномы имеют одинаковый рост a[1] = a[2] = ... = a[7].
