Вопрос школьника
Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 10, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.
Ответ от учителя
Пусть точка M — середина стороны AD, тогда AM = MD. Также, по условию, BM = CM = DM = x (равноудалена от всех вершин). Обозначим угол BCD через α. Тогда угол BAC = 180° — α.
Рассмотрим треугольник BCD. Из него можно найти угол BDC, так как сумма углов треугольника равна 180°:
BCD + BDC + CDB = 180°
112° + α + 113° = 180°
α = 45°
Теперь рассмотрим треугольник BMD. В нем можно найти угол BMD, так как сумма углов треугольника равна 180°:
BMD + BMД + MDБ = 180°
2BMD + α = 180°
BMD = (180° — α) / 2 = 67.5°
Также из треугольника BMD можно найти BD, используя теорему косинусов:
BD^2 = BM^2 + MD^2 — 2BM*MD*cos(BMD)
BD^2 = x^2 + x^2 — 2x*x*cos(67.5°)
BD^2 = 2x^2 — 2x^2*cos(67.5°)
BD = sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))
Теперь рассмотрим треугольник BAC. В нем можно найти AC, используя теорему косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(BAC)
AC^2 = x^2 + 10^2 — 2x*10*cos(180° — α)
AC^2 = x^2 + 100 + 20x*cos(α)
Также из треугольника BAC можно найти AB, используя теорему косинусов:
AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2AC*BC*cos(BCA)
AB^2 = x^2 + 10^2 — 2x*10*cos(α)
AB^2 = x^2 + 100 — 20x*cos(α)
Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем можно найти AD, используя теорему косинусов:
AD^2 = AB^2 + BD^2 — 2AB*BD*cos(ABD)
AD^2 = x^2 + 100 — 20x*cos(α) + 2x^2 — 2x^2*cos(67.5°) — 2x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*cos(180° — α)
AD^2 = 3x^2 + 100 — 20x*cos(α) — 2x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*sin(α)
Нам нужно найти AD, когда BM = CM = DM = x. То есть, когда AM = MD. Из этого условия следует, что треугольник AMD равнобедренный, и угол AMD равен углу ABD. Таким образом, мы можем записать:
cos(ABD) = cos(AMD) = cos(BMD) = cos(67.5°)
Подставим это выражение в формулу для AD:
AD^2 = 3x^2 + 100 — 20x*cos(α) — 4x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*cos(67.5°)
Теперь осталось найти x. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике BCD:
BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2BC*CD*cos(BCD)
BD^2 = 10^2 + x^2 — 2*10*x*cos(45°)
2x^2 — 20x*cos(45°) + 100 = BD^2
Подставим это выражение для BD в формулу для AD:
AD^2 = 3x^2 + 100 — 20x*cos(α) — 4x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*cos(67.5°)
AD^2 = 3x^2 + 100 — 4x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*cos(67.5°) — 2x^2 + 20x*cos(45°) — 100
AD^2 = x^2 — 4x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*cos(67.5°) + 20x*cos(45°)
Теперь найдем x из уравнения для BD:
2x^2 — 20x*cos(45°) + 100 = BD^2
2x^2 — 20x/√2 + 100 = 2x^2 — 2x^2*cos(67.5°)
20x/√2 = 100 — 2x^2*cos(67.5°)
x = (100 — 2x^2*cos(67.5°)) / (20/√2)
x = 5√2 — √2*cos(67.5°)
Теперь мы можем подставить найденное значение x в формулу для AD:
AD^2 = x^2 — 4x*sqrt(2x^2 — 2x^2*cos(67.5°))*cos(67.5°) + 20x*cos(45°)
AD^2 = (5√2 — √2*cos(67.5°))^2 — 4(5√2 — √2*cos(67.5°))*sqrt(2(5√2 — √2*cos(67.5°))^2 — 2(5√2 — √2*cos(67.5°))^2*cos(67.5°)) + 20(5√2 — √2*cos(67.5°))*cos(45°)
AD^2 = 50 — 10√2*cos(67.5°) + cos^2(67.5°) — 4(5√2 — √2*cos(67.5°))*sqrt(50 — 10√2*cos(67.5°) — 2(5√2 — √2*cos(67.5°))^2*cos(67.5°)) + 10√2 + 10√2*cos(67.5°)
AD^2 = 50 — 4√2*cos(67.5°) — 4√2*sqrt(50 — 10√2*cos(67.5°) — 2(5√2 — √2*cos(67.5°))^2*cos(67.5°)) + 50*cos(67.5°)
Теперь осталось только вычислить AD:
AD = sqrt(50 — 4√2*cos(67.5°) — 4√2*sqrt(50 — 10√2*cos(67.5°) — 2(5√2 — √2*cos(67.5°))^2*cos(67.5°)) + 50*cos(67.5°))
Подставив значения углов и вычислив, получаем:
AD ≈ 12.6
Таким образом, длина стороны AD равна примерно 12.6.
